Peut-on réduire toutes les maths à une seule opération ? Un physicien théoricien affirme que oui, et l’a trouvée

Quand une publication mathématique devient virale

Il est rare qu’un article de mathématiques captive l’attention au-delà du cercle des initiés. Pourtant, une nouvelle prépublication vient de briser cette règle. Son auteur ? Un physicien théoricien de l’université Jagellonne de Pologne, qui propose une idée aussi simple que radicale : réduire l’ensemble des mathématiques à une unique opération. Fini les additions, les soustractions, les racines carrées ou les sinus. Une seule fonction pour les remplacer toutes.

Dans ce document, Andrzej Odrzywołek rappelle un constat simple : « Tout le monde apprend de nombreuses opérations mathématiques à l’école : les fractions, les racines, les logarithmes et les [fonctions trigonométriques] […] chacune avec ses propres règles et un bouton dédié sur une calculatrice scientifique. »

Cependant, il souligne que « les mathématiques supérieures révèlent que beaucoup d’entre elles sont redondantes, par exemple, les fonctions trigonométriques se réduisent à l’exponentielle complexe. » La question qu’il pose est alors vertigineuse : « Jusqu’où cette réduction peut-elle aller ? » Sa réponse est sans appel : « Nous montrons qu’elle va jusqu’au bout : une seule opération, eml(x, y), les remplace toutes. »

L’énigmatique fonction « EML » : simple en apparence, complexe en pratique

Imaginez une calculatrice ne possédant que deux touches : un « 1 » et une autre marquée « EML ». Selon cette nouvelle théorie, ces deux seuls outils suffiraient à reproduire n’importe quel calcul réalisable sur une machine scientifique standard. Certes, le processus serait loin d’être rapide ou intuitif. Mais que se cache-t-il derrière ce mystérieux acronyme ?

Le nom « EML » est en réalité très descriptif : il signifie « exponentielle moins logarithme ». L’opérateur se définit ainsi : eml(x, y) := exp(x) – ln(y). Si la formule paraît simple, son utilisation est une autre histoire. Pour obtenir le nombre 0, un des piliers de tout système mathématique, il faudrait par exemple saisir la séquence suivante : eml(1, eml(eml(1, 1), 1)). On est loin de la simplicité d’un unique bouton « 0 ».

Toutefois, l’objectif ici n’est pas l’efficacité ou la facilité d’utilisation pour les humains. « La découverte était un résultat annexe d’un projet plus vaste sur la recherche exhaustive, utilisant des méthodes connues sous le nom de régression symbolique », a expliqué Andrzej Odrzywołek à IFLScience. La véritable portée de cette trouvaille se situe ailleurs.

La genèse : une chasse au trésor dans l’univers des données

Cette fameuse opération EML n’est pas sortie de nulle part. Elle est le fruit de travaux dans un domaine à la frontière des mathématiques et de l’informatique : la régression symbolique. Andrzej Odrzywołek décrit cette discipline comme une sorte de chasse au trésor qui « cherche des lois et des formules exactes dans les données. »

On peut voir ces méthodes comme une forme de mathématiques « à l’envers ». Au lieu de partir d’une équation pour trouver un résultat, on part des résultats finaux pour tenter de découvrir l’équation qui les a produits. Concrètement, cela implique de passer au crible un espace immense d’expressions potentielles jusqu’à en trouver une qui corresponde. Un travail de fourmi, fastidieux pour un humain, mais taillé pour la puissance de calcul des ordinateurs.

C’est en explorant ces territoires théoriques qu’une question a émergé. « En cours de route, je suis devenu curieux de savoir à quel point la base d’une telle recherche pouvait être petite », confie le chercheur. « EML était la réponse. »

Une « porte logique » pour les mathématiques continues ?

Au-delà de l’astuce mathématique, cette découverte pourrait avoir des implications profondes. C’est l’avis de Martin Benning, professeur au département d’informatique de l’University College London, qui n’a pas participé au projet. Selon lui, Odrzywołek « propose essentiellement une ‘porte NON-ET pour les mathématiques continues’. » En informatique, une porte NON-ET (ou NAND) est un composant de base « fonctionnellement complet », capable de recréer n’importe quelle autre fonction logique.

« Ce faisant, [il] transforme ce qui est habituellement un problème de recherche discret et combinatoire en un problème d’optimisation continue uniforme », a expliqué Martin Benning à IFLScience. Cette bascule est particulièrement intéressante pour l’apprentissage automatique (machine learning). « Du point de vue de [l’apprentissage automatique], c’est un changement intéressant et séduisant, car il nous permet théoriquement d’utiliser les techniques standards d’entraînement des réseaux de neurones pour découvrir des formules mathématiques exactes à partir de données. »

L’article se présente donc plus comme une preuve de concept que comme un outil fini. L’opérateur EML, déjà peu maniable pour un humain, l’est aussi pour les machines. Lors de ses expériences, Odrzywołek a constaté que son réseau neuronal échouait complètement à trouver une solution dès que le calcul impliquait plus de six niveaux de parenthèses imbriquées. Comme l’explique Martin Benning, réduire la grammaire disponible oblige à augmenter la profondeur des expressions. Ainsi, « même les fonctions simples nécessitent de nombreuses constructions profondément imbriquées », et passé un certain seuil, « les algorithmes ont du mal à trouver le bon chemin vers la solution. »

Un premier pas sur un chemin encore inconnu

Même si le concept est fascinant, il est encore trop tôt pour prédire l’avenir de cette découverte. « Il est difficile de prédire quelle direction sera payante », admet Andrzej Odrzywołek. Il suggère des pistes, comme des applications en informatique analogique ou en programmation génétique. Pour l’heure, cela ouvre surtout la voie à d’autres recherches similaires. « Cela démontre qu’une telle approche réductionniste est réalisable », affirme-t-il. « Je m’attends à ce que des travaux ultérieurs trouvent d’autres opérateurs avec des propriétés encore meilleures. »

Pour que ces applications futures se concrétisent, il faudra surmonter les obstacles actuels, notamment la limitation à six niveaux d’imbrication. Pour Martin Benning, ce résultat, bien qu' »intrigant », reste « actuellement un travail théorique intéressant plutôt qu’une voie pratique pour résoudre des problèmes appliqués pour le moment. » Odrzywołek, de son côté, prévoit de soumettre sa prépublication à une revue spécialisée avant de se tourner à nouveau vers ses premiers amours : « Je vais probablement retourner à des projets [d’astrophysique] pendant un certain temps. »

La morale de cette histoire ? Peut-être une invitation à garder l’esprit ouvert. « Les méthodes de recherche exhaustive sont sous-utilisées en mathématiques, et elles peuvent occasionnellement révéler quelque chose qui se cachait à la vue de tous », conclut Odrzywołek. « Quelque chose qui semble évident rétrospectivement, comme la roue. » Le document de recherche, qui n’a pas encore été évalué par des pairs, est disponible sur le site ArXiv. Comme le dit son auteur : « Le temps nous le dira. »

Selon la source : iflscience.com